Galera , depois de tanta demora saiu , espero que gostem . O audio tá bem baixinho , recomendo utilizar o fone de ouvido . Desde já agradeço a todos , visitem o nosso canal . BEIJOS
http://www.youtube.com/watch?v=oeRo_JY04nA&feature=youtu.be
Área de um triângulo
A geometria analítica também possui seus artifícios para o cálculo da área de um triângulo, nesse caso é necessário que saibamos as coordenadas de seus três vértices para que o triângulo possa ser representado em um plano cartesiano.
Considere o triângulo de vértices A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC), veja a sua representação em um plano cartesiano:
A partir dessa representação podemos dizer que o cálculo da área (A) de um triângulo através dos conhecimentos da geometria analítica é dado pelo determinante dos vértices dividido por dois.
A = |D|
2
Onde D =
.
Exemplos: A área de um triângulo é 25/2 e seus vértices são (0,1), (2,4) e (-7,k). Nesse caso qual será o possível valor de k?
Sabemos que a área A = |D|, portanto é preciso que encontremos o valor de D.
2
D =
D = -7 + 2k + 28 -2
D = 2k + 19
Substituindo a fórmula teremos:
A = |D|
2
25= 2k + 19
2 2
25 = 2k + 19
25 – 19 = 2k
6 = 2k
6:3 = k
k = 3
Considere o triângulo de vértices A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC), veja a sua representação em um plano cartesiano:
A partir dessa representação podemos dizer que o cálculo da área (A) de um triângulo através dos conhecimentos da geometria analítica é dado pelo determinante dos vértices dividido por dois.
A = |D|
2
Onde D =
. Exemplos: A área de um triângulo é 25/2 e seus vértices são (0,1), (2,4) e (-7,k). Nesse caso qual será o possível valor de k?
Sabemos que a área A = |D|, portanto é preciso que encontremos o valor de D.
2
D =
D = -7 + 2k + 28 -2
D = 2k + 19
Substituindo a fórmula teremos:
A = |D|
2
25= 2k + 19
2 2
25 = 2k + 19
25 – 19 = 2k
6 = 2k
6:3 = k
k = 3
Ângulo formado entre duas retas
Considere duas retas distintas e concorrentes do plano, r e s, ambas oblíquas aos eixos coordenados e não perpendiculares entre si. As duas retas formam um ângulo entre si, que denominaremos de α. Esse ângulo α é tal que:
Onde ms e mr são os coeficientes angulares das retas s e r, respectivamente.
Se ocorrer de uma das retas ser vertical e a outra oblíqua, o ângulo α formado entre elas é tal que:
Portanto, ms = -3/4
Conhecendo os valores dos coeficientes angulares, basta aplicar a fórmula do ângulo entre duas retas:
Onde ms e mr são os coeficientes angulares das retas s e r, respectivamente.
Se ocorrer de uma das retas ser vertical e a outra oblíqua, o ângulo α formado entre elas é tal que:
Exemplo. Determine o ângulo formado entre as retas r: x - y = 0 e s: 3x + 4y – 12 =0
Solução: Para determinar o ângulo formado entre as duas retas, precisamos conhecer o coeficiente angular de cada uma delas. Assim, vamos determinar o coeficiente angular das retas r e s.
Para a reta r, temos:
x - y = 0
y = x
Portanto, mr = 1.
Para a reta s, temos:
Solução: Para determinar o ângulo formado entre as duas retas, precisamos conhecer o coeficiente angular de cada uma delas. Assim, vamos determinar o coeficiente angular das retas r e s.
Para a reta r, temos:
x - y = 0
y = x
Portanto, mr = 1.
Para a reta s, temos:
Portanto, ms = -3/4
Conhecendo os valores dos coeficientes angulares, basta aplicar a fórmula do ângulo entre duas retas:
Distância entre ponto e reta
A distância entre um ponto e uma reta é calculada unindo o próprio ponto à reta através de um segmento, que deverá formar com a reta um ângulo reto (90º). Para estabelecer a distância entre os dois necessitamos da equação geral da reta e da coordenada do ponto. A figura a seguir estabelece a condição gráfica da distância entre o ponto P e a reta r, sendo o segmento PQ a distância entre eles.
Estabelecendo a equação geral da reta s: ax0 + by0 + c = 0 e a coordenada do ponto P(x0,y0), conseguimos chegar à expressão capaz de calcular a distância entre o ponto P e a reta s:
Essa expressão surge de uma generalização feita, podendo ser utilizada nas situações em que envolve o cálculo da distância entre um ponto qualquer e uma reta.
Exemplo
Dado o ponto A(3, -6) e r: 4x + 6y + 2 = 0. Estabeleça a distância entre A e r utilizando a expressão dada anteriormente.
Temos que:
x: 3
y: -6
a: 4
b: 6
c: 2
Estabelecendo a equação geral da reta s: ax0 + by0 + c = 0 e a coordenada do ponto P(x0,y0), conseguimos chegar à expressão capaz de calcular a distância entre o ponto P e a reta s:
Essa expressão surge de uma generalização feita, podendo ser utilizada nas situações em que envolve o cálculo da distância entre um ponto qualquer e uma reta.
Exemplo
Dado o ponto A(3, -6) e r: 4x + 6y + 2 = 0. Estabeleça a distância entre A e r utilizando a expressão dada anteriormente.
Temos que:
x: 3
y: -6
a: 4
b: 6
c: 2
Posições relativas de duas Retas
Considere duas retas distintas do plano cartesiano:
Podemos classificá-las como paralelas ou concorrentes.
Retas Paralelas
As retas r e s têm o mesmo coeficiente angular.
Assim para r//s, temos :
Retas Perpendiculares
É um caso particular de reta concorrente. Duas retas são ditas perpendiculares quando os seus coeficientes angulares são tais que:
Equação segmentária da reta
Considere uma reta r que cruza os eixos cartesianos nos pontos (0, q) e (p, 0).
Vamos escrever a equação da reta r:
Dividindo essa equação por pq, obtemos a equação segmentária da reta:
Vamos escrever a equação da reta r:
Dividindo essa equação por pq, obtemos a equação segmentária da reta:
Equação reduzida da reta
Vamos determinar a equação da reta r que passa por Q(0,q), e tem coeficiente angular m = tg(α):
Toda equação na forma y = mx + q é chamada equação reduzida da reta, em que m é o coeficiente angular e q a ordenada do ponto n qual a reta cruza o eixo Oy. A equação reduzida pode ser obtida diretamente da equação geral ax + by + c = 0 :
Equação geral da reta
Toda reta r do plano cartesiano pode ser expressa por uma equação do tipo:
Em que:
• a, b, e c são números reais;
• a e b não são simultaneamente nulos.
• a, b, e c são números reais;
• a e b não são simultaneamente nulos.
Podemos obter a equação geral de uma reta r conhecendo dois pontos não coincidentes de r:
Para isso, usa-se a condição de alinhamento de A e B com um ponto genérico P(x,y) de r.
Equação fundamental da reta
Podemos representar uma reta r do plano cartesiano por meio de uma equação. Essa equação pode ser obtida a partir de um ponto A(xA, yA) e do coeficiente angular m dessa reta.
Considere uma reta r não-vertical, de coeficiente angular m, que passa pelo ponto A(xA, yA). Vamos o a equação obter dessa reta, tomando um ponto P(x, y) tal que P ≠ A.
Geometria Analítica
A Geometria Analítica, também denominada de coordenadas geométricas, se baseia nos estudos da Geometria através da utilização da Álgebra. Os estudos iniciais estão ligados ao matemático francês René Descartes (1596 -1650), criador do sistema de coordenadas cartesianas.
Os estudos relacionados à Geometria Analítica datam seu início no século XVII, Descartes, ao relacionar a Álgebra com a Geometria, criou princípios matemáticos capazes de analisar por métodos geométricos as propriedades do ponto, da reta e da circunferência, determinando distâncias entre eles, localização e pontos de coordenadas.
Uma característica importante da G.A. se apresenta na definição de formas geométricas de modo numérico, extraindo dados informativos da representação. Com base nesses estudos, a Matemática passa a ser vista como uma disciplina moderna, capaz de explicar e demonstrar situações relacionadas ao espaço. As noções intuitivas de vetores começam a ser exploradas de forma contundente, na busca por resultados numéricos que expressem as ideias da união da Geometria com a Álgebra.
Os estudos relacionados à Geometria Analítica datam seu início no século XVII, Descartes, ao relacionar a Álgebra com a Geometria, criou princípios matemáticos capazes de analisar por métodos geométricos as propriedades do ponto, da reta e da circunferência, determinando distâncias entre eles, localização e pontos de coordenadas.
Uma característica importante da G.A. se apresenta na definição de formas geométricas de modo numérico, extraindo dados informativos da representação. Com base nesses estudos, a Matemática passa a ser vista como uma disciplina moderna, capaz de explicar e demonstrar situações relacionadas ao espaço. As noções intuitivas de vetores começam a ser exploradas de forma contundente, na busca por resultados numéricos que expressem as ideias da união da Geometria com a Álgebra.
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